Faktöriyelde Belirli Bir Asal Çarpanın Sayısını Bulma

 

               Bir sayının faktöriyeli, o sayı ile 1 arasındaki (o sayı dahil) sayıların çarpılmasıdır. Yani;

n! = n(n-1)(n-2)…1

Faktöriyellerde n sayısı büyüdükçe faktöriyelin değeri de artar. Bu işlemin zaten çarpma işlemlerinden oluştuğunu düşünürsek faktöriyellerde bulunan belirli bir asal çarpan (örneğin 2) sayısını sayarak bulmak kolay gelebilir. n sayısı daha küçükken bu o kadar da zor değildir ancak n büyüdükçe bunu yapmak zorlaşır. Bu nedenle daha büyük sayılarda belirli bir asal çarpanın sayısını bulabilmek için bir yöntem geliştirilmiştir. Örneğin sayımız 38! olsun ve biz bu sayıda kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım

Adım 1: Sayıyı bulmak istediğin asal çarpana böl.

40/3 = 13

Adım 2: Çıkan sonucu da bu asal çarpana böl ve işlemi bu şekilde olabilecek en küçük tam sayıya kadar devam ettir.

13/3 = 4

4/3 = 1

Adım 3: Her işlemde çıkan sonucu topla. Elde edilen sonuç 40!’de kaç tane 3 çarpanı olduğudur.

13 + 4 + 1 = 18

Peki, bu işlemler faktöriyeller hakkında pek fazla bilgisi olmayan bir insan için ne kadar tatmin edici? Şahsen ben bu yöntemi ilk gördüğümde faktöriyeller hakkında pek bir şey bilmiyordum ve yöntemi anlamlandıramamıştım. Bu nedenle şimdi bu yöntemin ispatını gösterelim.

Öncelikle 40! çarpımı yapılırken içerisinde 3 bulunan çarpanları içerisinde 3 bulunduğunu görebileceğimiz şeklinde yazalım;

3 = 3                     15 = 3.5                 27 = 3.3.3

6 = 3.2                 18 = 3.3.2              30 = 3.10              39 = 3.13

9 = 3.3                 21 = 3.7                 33 = 3.11

12 = 3.4               24 = 3.8                 36 = 3.3.4

Bu eşitliklerin sağ tarafında bulunan 3’ler sayıldığında tam olarak 18 tane 3 çarpanı bulunduğu gözükür. Peki en başta kullandığımız yöntem neden doğru sonucu verdi?

40 sayısını ilk kez üçe böldüğümüzde bulduğumuz sonuç eşitliğin sağında bulunan ilk üç sayısıydı (kırmızıyla gösterilmiştir). Çıkan sonucu ikinci kez üçe böldüğümüzde aslında 40 sayısını 9’a bölmüş olduk ki bu bize 9’un katlarında bulunan ikinci üç sayısıydı (yeşille gösterilmiştir).  En son çıkan sonucu üçe bölerek de aslında 40 sayısını 27’ye bölmüş olduk. Yani 40! sayısının içerisinde kaç tane 27 olduğunu bulduk ki bu bize 27’nin katlarında bulunan üçüncü üç sayısını vermiş oldu (maviyle gösterilmiştir).

Sonuç olarak en başta kullanılan yöntem aslında 40!’in içinde 3’ün katlarını bulmamızı, bu şekilde de 40! sayısında  kaç tane 3 çarpanı olduğumuzu teker teker saymadan kolayca bulmamızı sağladı.

Yorumlar

Yorum Gönder

Bu blogdaki popüler yayınlar

Sinüs Teoremi ve Sinüs Alan Formülü

  Sinüs Teoremi Sinüs Teoremi, bir üçgendeki her kenarın o kenarı gören açının sinüsiyle oranının eşir olduğunu, bu oranın da çevrel çemberin çap uzunluğuna eşit olduğunu söyleyen teoremdir. Peki bu oranlar neden birbirine ve çevrel çamberin çapına eşittir?  Bir ABC üçgeni hayal edelim ve çevrel çemberini çizelim. Çemberin merkezi O, yarı çapı r olsun. A noktasında oluşturulmuş açıya α dersek O noktasında oluşan açı aynı yayı gören merkez açı olduğundan 2α olur. |OB| ve |OC| doğru parçalarını çekerek bir ikizkenar üçgen oluşturalım. Ol |BC| (Bu kenarın uzunluğuna yazının geri kalanında “a” denecektir.) kenarına O’dan bir yükseklik indirerek iki eş üçgen oluşturalım ve sin α‘ı bulalım. Bir açının sinüsü, dik üçgende o açının gördüğü kenarın hipotenüse oranıyla bulunur. Bu nedenle ikizkenar üçgen içinde oluşturulan dik üçgenden sinα’yı sinα = a/2r  şeklinde buluruz ve içler dışlar çarpımı yaptığımızda 2r = a/sinα eşitliğine ulaşırız. Yani bir kenarın o kenarı gören açısın...
Devamı

Geometrinin Genel Tarihi

  Matematik, tarihin başlangıcından beri insan hayatında ister istemez oludkça büyük bir yere sahiptir. Matematik olarak adlandırılmadan önce bile aslında insanlar problemlerini çözmek için farkında olmadan matematik kullanırlarmış. Tabii kullanılan matematik başlangıçta oldukça basitmiş. Zaman ilerledikçe ortaya atılan yeni fikirler ve teoremlere matematiğin gelişimi sağlanmış ve şu an olduğu hale bürünmüş. Matematik çok geniş bir alandır ve bu nedenle genellikle her biri birbirine bağlı farklı başlıklarda incelenir. Temel olarak analitik ve geometri olmak üzere iki alanda incelenir. Bu yazıda ise geometrinin tarihinden bahsedilecektir. Erken Geometri Geometrinin başlangıcına dair en erken kayıtlar yaklaşık olarak MÖ 3000’de antik Babil ve antik İndus Vadisi’nde halkın geniş açılı üçgenleri keşfetmesine aittir. Erken geometri genel olarak ölçümü kolaylaştırmak amacıyla ortaya çıkarılan açılar, uzunluklar, hacimler ve alanlardan oluşur.  Eski Mısırlılar çemberin alanını yakl...
Devamı

Şapka Problemi

Resim
     Sizin de içinde bulunduğunuz n kişilik bir odada herkesin başına yazı turayla beyaz ya da siyah şapka konulduğunu düşünelim. Yani sizin kafanızda %50 ihtimalle siyah %50 ihtimalle beyaz bir şapka var. Kendiniz dışında herkesin başındaki şapkayı görebiliyorsunuz. Sonrasında sırayla herkesten kafasındaki şapkanın rengine dair bir tahminde bulunmaları isteniyor. Tahminde bulunabilir ya da pas diyerek sıranızı savabilirsiniz. Eğer hata yapılmadan en az bir kişi doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar kazanacak. Nasıl bir taktik uygulanırsa herkesin 1 milyon dolar kazanma olasılığı en yüksek olur?      The New York Times’da da yayınlanarak Amerika’da matematik severler arasında büyük bir heyecana sebep olmuş “Şapka Problemi” hala farklı stratejiler kullanılarak tartışılmaktadır. Bu konuyu bir de burada ele almak istedim.      Öncelikle şunu aklımızdan çıkarmamız gerekiyor: yanlış tahminde bulunursak kaybederiz. Mesela n kişinin (n-1) ta...
Devamı