Şapka Problemi
Sizin de içinde bulunduğunuz n kişilik bir odada herkesin başına yazı turayla beyaz ya da siyah şapka konulduğunu düşünelim. Yani sizin kafanızda %50 ihtimalle siyah %50 ihtimalle beyaz bir şapka var. Kendiniz dışında herkesin başındaki şapkayı görebiliyorsunuz. Sonrasında sırayla herkesten kafasındaki şapkanın rengine dair bir tahminde bulunmaları isteniyor. Tahminde bulunabilir ya da pas diyerek sıranızı savabilirsiniz. Eğer hata yapılmadan en az bir kişi doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar kazanacak. Nasıl bir taktik uygulanırsa herkesin 1 milyon dolar kazanma olasılığı en yüksek olur?
The New York Times’da da yayınlanarak Amerika’da matematik severler arasında büyük bir heyecana sebep olmuş “Şapka Problemi” hala farklı stratejiler kullanılarak tartışılmaktadır. Bu konuyu bir de burada ele almak istedim.
Öncelikle şunu aklımızdan çıkarmamız gerekiyor: yanlış tahminde bulunursak kaybederiz. Mesela n kişinin (n-1) tanesi pas derse ve bir kişi tahminde bulunursa %50 ihtimalle para kazanılır. İki kiiş hariç herkes pas derse bu iki kişinin de doğru tahminlerde bulunması gerekir, bu durumda %25 ihtimalle ödül kazanılabilir. Buradan ne kadar az kişi tahminde bulunursa kazanma olasılığı o kadar fazla olur çıkarımını yapabiliriz. Şu an elimizdekilere göre en iyi olasılığımız 1 kişinin evet demesi yani %50 gibi gözüküyor. Peki hangi durumda bu olasılığı arttırabiliriz? n=3 olduğu durumu hayal edelim. Üç şapkanın üçünün de aynı renk olma ihtimali ¼’tür. Bu şapkalar ⅛ olasılıkla beyaz, ⅛ olasılıkla siyah olabileceğinden ¼ değerine ulaşırız. Yani şapka renklerinin 2’ye 1 dağılma olasılığı ¾’tür. Bu nedenle karşısındaki iki sapkanın da aynı renkte olduğunu gören bir insan bu rengin tersi olan rengi tahmin olarak söylerse %75 ihtimalle kazanılır. Bu hesapla n=15 olduğu durumda bu oran 15/16’ya çıkıyor hatta n sonsuza yaklaştıkça oran 1’e oldukça yaklaşıyor.
Bu oyunun biraz daha farklı olduğunu farz edelim, hep beraber değil de teker teker tahminde bulunulsun. Kişi sayısına tekrar n diyelim. Bu durumda herkese siyah şapka gelme olasılığı ½^n olur. Yani en az bir şapkanın beyaz olma olasılığı 1-½^n’dir. Bu durumda en az bir oyuncuda beyaz şapka olursa kazanma olasılığı oldukça artabilir. Oyuncuları sıraya dizelim ve bu sırayla oyuncular tahminde bulunsun. Her oyuncu tahmin sırası geldiğinde beyaz bir şapka görüyorsa pas desin, görmüyorsa beyaz tahmininde bulunsun. Örneğin ilk sıradaki kişi en az bir kişide beyaz şapka gördüyse pas desin. Bu şekilde diğer oyuncular oyunda bu ilk kişi dışında bir beyaz şapka olduğunu bilecek. Mesela oyunda 3 kişi varsa ve ilk oyuncu pas derse ikinci oyuncu kendi şapkasının veya diğer şapkanın beyaz olduğunu biliyor olacak. Tahminin doğru olma olasılığı bu şekilde daha çok artacaktır. Yine 3 kişilik bir oyunda bu olasılıkları tabloya dökecek olursak:
⅞ ihtimalle oyunun kazanılacağını görmüş oluruz. Sonuç olarak n kişinin olduğu bir oyunda1-½^n olasılıkla bu oyun kazanılır ve oyunda oluşturulabilecek en iyi strateji bu şekilde olur.
Nesin, Ali. Matematik ve Develerle Eşekler. 2019, pp. 17–21.
Yorumlar
Yorum Gönder