√2

 

    Rasyonel sayılar, a ve b’nin tam sayı olması ve b’nin 0’a eşit olmaması koşuluyla a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır. Köklü sayıların irrasyonel olduğu herkes tarafından bilinen bir gerçektir. Peki “√2” sayısının irrasyonel olduğunu nasıl hesaplarız?

√2 ‘nin rasyonel olduğunu varsayarsak;

√2 = a/b

doğru bir eşitlik olacaktır. Bu durumda a/b en sade halinde olduğunu söylersek a ve b aralarında asal olmalıdır yani bu iki tam sayının 1’den başka ortak bir böleni bulunmamalıdır. Öncelikle eşitliğin iki tarafının da karesini alalım.

2=a2/b2

Bu eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparsak;

2b2 = a2

eşitliğine ulaşırız. Bir sayının 2 ile çarpılması sonucu çift olduğunu biliyoruz. Bu durumda a2 nin çift olduğunu söyleyebiliriz. Bir sayının karesi çiftse kendisinin de çift olduğunu da bidiğimize göre a tam sayısının da çift olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre herhangi bir k sayısı için ;

a = 2k

doğru bir eşitliktir. 2k’yi içler dışlar çarpımı yaptığımız noktada a yerine yerleştirirsek;

2b2 = 4k2

olur. Eşitliğin iki tarafını da 2’ye bölersek;

b2 = 2k2

eşitliğine ulaşırız. Bildiğimiz üzere bir sayının ikiyle çarpılması sonucu çift bir sayı elde edilir. Bu nedenle b2 nin çift olduğunu söyleyebiliriz. Aynı a tam sayısında da olduğu gibi b’nin karesi çift ise b tam sayısı da çifttir.

a ve b çift sayılar olduğundan ikisinin birbirine bölündüğü bir durumda kesirin en sade hali a/b olamaz. Yani bu iki sayının aralarında asal olma ihtimali yoktur.

Hesaplamanın bu kısmında bir çelişkiye ulaşıldığından √2 sayısının rasyonel olma ihtimali yoktur. Bu sayı irrasyonel olmak zorundadır.

 

Yorumlar

Yorum Gönder

Bu blogdaki popüler yayınlar

Sinüs Teoremi ve Sinüs Alan Formülü

  Sinüs Teoremi Sinüs Teoremi, bir üçgendeki her kenarın o kenarı gören açının sinüsiyle oranının eşir olduğunu, bu oranın da çevrel çemberin çap uzunluğuna eşit olduğunu söyleyen teoremdir. Peki bu oranlar neden birbirine ve çevrel çamberin çapına eşittir?  Bir ABC üçgeni hayal edelim ve çevrel çemberini çizelim. Çemberin merkezi O, yarı çapı r olsun. A noktasında oluşturulmuş açıya α dersek O noktasında oluşan açı aynı yayı gören merkez açı olduğundan 2α olur. |OB| ve |OC| doğru parçalarını çekerek bir ikizkenar üçgen oluşturalım. Ol |BC| (Bu kenarın uzunluğuna yazının geri kalanında “a” denecektir.) kenarına O’dan bir yükseklik indirerek iki eş üçgen oluşturalım ve sin α‘ı bulalım. Bir açının sinüsü, dik üçgende o açının gördüğü kenarın hipotenüse oranıyla bulunur. Bu nedenle ikizkenar üçgen içinde oluşturulan dik üçgenden sinα’yı sinα = a/2r  şeklinde buluruz ve içler dışlar çarpımı yaptığımızda 2r = a/sinα eşitliğine ulaşırız. Yani bir kenarın o kenarı gören açısın...
Devamı

Geometrinin Genel Tarihi

  Matematik, tarihin başlangıcından beri insan hayatında ister istemez oludkça büyük bir yere sahiptir. Matematik olarak adlandırılmadan önce bile aslında insanlar problemlerini çözmek için farkında olmadan matematik kullanırlarmış. Tabii kullanılan matematik başlangıçta oldukça basitmiş. Zaman ilerledikçe ortaya atılan yeni fikirler ve teoremlere matematiğin gelişimi sağlanmış ve şu an olduğu hale bürünmüş. Matematik çok geniş bir alandır ve bu nedenle genellikle her biri birbirine bağlı farklı başlıklarda incelenir. Temel olarak analitik ve geometri olmak üzere iki alanda incelenir. Bu yazıda ise geometrinin tarihinden bahsedilecektir. Erken Geometri Geometrinin başlangıcına dair en erken kayıtlar yaklaşık olarak MÖ 3000’de antik Babil ve antik İndus Vadisi’nde halkın geniş açılı üçgenleri keşfetmesine aittir. Erken geometri genel olarak ölçümü kolaylaştırmak amacıyla ortaya çıkarılan açılar, uzunluklar, hacimler ve alanlardan oluşur.  Eski Mısırlılar çemberin alanını yakl...
Devamı

Şapka Problemi

Resim
     Sizin de içinde bulunduğunuz n kişilik bir odada herkesin başına yazı turayla beyaz ya da siyah şapka konulduğunu düşünelim. Yani sizin kafanızda %50 ihtimalle siyah %50 ihtimalle beyaz bir şapka var. Kendiniz dışında herkesin başındaki şapkayı görebiliyorsunuz. Sonrasında sırayla herkesten kafasındaki şapkanın rengine dair bir tahminde bulunmaları isteniyor. Tahminde bulunabilir ya da pas diyerek sıranızı savabilirsiniz. Eğer hata yapılmadan en az bir kişi doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar kazanacak. Nasıl bir taktik uygulanırsa herkesin 1 milyon dolar kazanma olasılığı en yüksek olur?      The New York Times’da da yayınlanarak Amerika’da matematik severler arasında büyük bir heyecana sebep olmuş “Şapka Problemi” hala farklı stratejiler kullanılarak tartışılmaktadır. Bu konuyu bir de burada ele almak istedim.      Öncelikle şunu aklımızdan çıkarmamız gerekiyor: yanlış tahminde bulunursak kaybederiz. Mesela n kişinin (n-1) ta...
Devamı