Russel Paradoksu

 

Matematiksel çelişki bir ifadenin aynı anda hem doğruluğunu hem yanlışlığını iddia ederek bir paradoks oluşmasına denir. Bu duruma basit ve sözel bir örnek olarak “Bu cümle yanlıştır.” cümlesi verilebilir. Bu cümle doğru ise cümle yanlış olmalıdır aynı şekilde bu cümle yanlış ise bu cümle doğru olmalıdır. Matematiksel çelişkinin ne olduğunu kolayca anlayabilmek için sözel bir örneği olarak bu paradoksu vermek doğru olur. Mesela siz 1² ≠ 1 ifadesinin doğruluğunu ispatlarsanız matematiksel bir çelişki yaratmış olursunuz çünkü 1² = 1 ifadesi daha önce ispatlanmıştır.

Matematiksel çelişkiler matematikçiler tarafından pek sevilen durumlar değildir. Bunun nedeni matematikçilerin bir ifadenin doğruluğunun ya da yanlışlığının matematiksel bir ispatı olduğuna inanırlar. Bu nedenle çelişkileri sürekli bir şekilde ispatlamaya çalışırlar. Bu yazıda da matematik camiasını uzun bir süre boyunca kafasını karıştıran Russel Paradoksu anlatılacaktır.

Bu paradoksa geçmeden önce sözel olarak daha iyi anlaşılması adına buna benzer sözel bir paradoks anlatmak doğru olur: Bir kütüphanede kitapların çokluğundan dolayı kitapların isimlerinin yazdığı kataloglar (İleride kataloglar da kitap olarak kabul edilecektir.) yapılacaktır. Örneğin bir katalog kırmızı kapaklı kitapların adını içerecektir ve bu katalog kırmızı kapaklıysa katalogun adı kendi içine yazılacaktır. Bu şekilde çok fazla katalog yapılır. Ancak en son yapılan katalogların çok fazla olduğu fark edilir. Bunun sonucunda kataloglar “Kendi Adını İçeren Kataloglar” ve “Kendi Adını İçermeyen Kataloglar” adlı 2 farklı kataloga ayrılır. Buradaki paradoks “Kendi Adını İçermeyen Kataloglar” katalogunun nereye yazılması gerektiğidir. Çünkü kendi içine yazılırsa öbür katalogda bulunması gerekir ancak öbür katalogda bulunması için kendi katalogunda adı yazması gerekir. Buradaki çelişkiyi çözemeyen insanlar “Böyle bir katalog oluşturulamaz.” diyerek paradoksu sonlandırmışlardır.

Russel Paradoksu da aslında Katalog Paradoksu’na çok benzer bir paradokstur. Russel’ın yaşadığı dönemde küme, herhangi bir öğeler topluluğu olarak kabul ediliyordu. Yani eğer x bir kümeyse x kümesinin bir özelliği eş olan elemanları ayrı bir alt küme oluşturur. Örneğin doğal sayılar N kümesi, çift doğal sayılar 2N kümesidir. Bütün kümeleri kapsayan bir a kümesi olduğunu varsayalım. Bu küme hem N kümesini hem 2N kümesini içerir.

2N ϵ a ve N ϵ a

a kümesi kendisi de bir küme olduğundan kendisini içermelidir.

a ϵ a

Ancak N kümesinde N bir doğal sayı olmadığından

N Ï N

 

Şimdi bir de a kümesinin “kendini içermeyen kümeler” adlı kümesine bakalım. Bu kümeye b kümesi diyelim.

x Ï y ancak N Ï y

 

Bu ifadelerin matematiksel tanımı (z herhangi bir küme)

 y = {z ∈ x : z ∉ z}

Yani z için

z ∈ y ⇔ z ∈ x ve z ∉ z

z bir küme olduğundan ve x her kümeyi kapsadığından

z ∈ y ⇔ z ∉ z

herhangi bir z kümesinin y olduğunu varsayarsak

y ∈ y ⇔ y ∉ y

Kendisini içermeyenler kümes kendisini içerirse kendisini içermeyenler kümesine giremez ancak girmediği durumda da bu küme içinde bulunması gerekir. Bu nedenle bu durum matematiksel bir çelişki yaratmaktadır ve bu çelişki tarihe “Russel Paradoksu” olarak geçmiştir.

Matematikçiler tarafından çelişkilerin varlığı kabul edilmek istenmediğinden bu paradoksa çözüm olarak “tipler kuramı” adı altında bir kuram ortaya çıkarılmıştır. Bu kuramda kümeler derecelendirilmiştir. Örneğin tipler kuramına göre 4. Dereceden bir kümenin tanımı için yalnızca 1, 2 ve 3. dereceden kümeler kullanılabilmektedir. Bu derecelendirme “Tüm Kümelerin Kümesi” adı altında bir küme oluşturulmasını engellemiştir. Bu şekilde Russel Paradoksu’nda bulunan çelişki ortadan kaldırılmıştır.

Kaynakça: Matematik Dünyası, 12. Yıl, 4. Sayı, Russel Paradoksu