1=1


Sezgisel olarak bir sayının kendisine eşit olduğunu herkes bilir. Sezgisel olarak hepimiz sadece bu eşitliği değil toplama, çarpma, üs alma, verilen sayının ardılını bulma gibi birçok karmaşık işlemi de sezgisel olarak biliriz. Fakat bize 2+2 neden 4’e eşittir diye sorulduğunda genellikle verebileceğimiz mantıklı bir cevap yoktur. Aynı durum bir sayının neden kendisine eşit olduğu sorusunda da geçerlidir. Bu yazıda 1’in neden 1’e eşit olduğu incelenecek ve 1=1 eşitliği kanıtlanacaktır.

Bu eşitliği kanıtlamak için Aksiyomatik Kümeler Kuramı’ndan (bundan sonra “AKK” olarak yazılacaktır) yararlanacağız. AKK bir zorunluluk olarak ortaya çıkmıştır. AKK’dan önce kabul görülmüş olan Sezgisel Kümeler Kuramı’nda her topluluk bir küme olarak kabul edilirdi. Bu durum bir paradoksa [Russell Paradoksu (Bir önceki içerik)] yol açmış ve matematikte paradoksun kabul edilemeyecek bir durum oluşundan dolayı AKK oluşturulmuştur. AKK’de her topluluk bir küme değildir. AKK’de “küme” tanımlanmaz. Nelerin küme olup olmadığına aksiyomlar yardımıyla karar verilir. AKK’de tanımlanmayan bir diğer şey ise “elemanı olma” özelliğidir. Ayrıca AKK’de her eleman aynı zamanda bir kümedir. Gelin şimdi AKK’nin en temel aksiyomları sayesinde 1=1 eşitliğini kanıtlayalım.

Aksiyom 1: Hiç elemanı olmayan bir küme vardır.

Aksiyom 2: Aynı sayıda elemana sahip olan iki küme birbirine eşittir.

Bu iki aksiyomdan yararlanarak ortaya bir teori atabiliriz:

Teori 1: Hiç elamanı olmayan tek bir küme vardır.

Kanıt: x1 ve x2 hiç elemanı olmayan iki küme olsun. Teoride öne sürdüğüm iddiaya göre x1=x2 olmalı. Böyle olmadığını, iki kümeden bir tanesinde diğerine ait olmayan eleman(lar) olduğunu yani iki kümenin eşit olmadıklarını düşünelim. İki kümede de eleman bulunmadığı için, herhangi birisinde diğerinde bulunmayan bir eleman bulunamaz. Aksiyom 1 ve 2’den yararlanarak x1=x2 eşitliği kanıtlanabilir.

Tanım 1: Mademki hiç elemanı olmayan tek bir küme var, bu kümeye özel bir isim verebiliriz. Bu kümenin ismi “boşküme” olsun ve simgesi Ø olsun.

Aksiyom 3: Eğer x ve y birer kümeyse, eleman olarak sadece x ve y’yi içeren bir küme vardır.

Tanım 2: 0=Ø

               Not: 0 “sıfır” diye okunur fakat günlük hayatta kullanılan “sıfır”dan farklıdır. “0’ın sıfır elemanı vardır.” Tümcesindeki ilk “0” bizim tanımladığımız “matematiksel sıfır”, ikincisi ise Türkçe’deki sıfırdır.

 

Tanım 3: Aksiyom 3’ten yararlanarak x=y=0 yani {0} kümesinin varlığını gösterebiliriz. Bu sayede 1={0} olarak tanımlayabiliriz.

 Yani kısaca:  1={0}

Yukarıda tanımlanan 1 elemanına -veya kümesine- “bir” adını vereceğiz.

 

Bu kadar aksiyom 1=1 eşitliğini kanıtlamak için yeterli olacaktır. Şimdi tekrardan kısaca “1=1” ifadesindeki elemanların tanımına bakalım.

1={0}

“=” işareti ise iki küme arasında oluşan ve Aksiyom 2’nin özelliğini gösteren bir işarettir.

Teorem “1x=1y”:

Kanıt: “1x” bir kümedir ve tek bir elemanı vardır. Bu eleman “0” yani “Ø”dir. “1y” de bir kümedir ve tek bir elemanı vardır. Bu eleman “0” yani “Ø”dir. Aksiyom 2’ye göre elemanları aynı olan kümeler birbirine eştir. Yani 1x=1y doğru bir önermedir.

Yorumlar

Yorum Gönder

Bu blogdaki popüler yayınlar

Sinüs Teoremi ve Sinüs Alan Formülü

  Sinüs Teoremi Sinüs Teoremi, bir üçgendeki her kenarın o kenarı gören açının sinüsiyle oranının eşir olduğunu, bu oranın da çevrel çemberin çap uzunluğuna eşit olduğunu söyleyen teoremdir. Peki bu oranlar neden birbirine ve çevrel çamberin çapına eşittir?  Bir ABC üçgeni hayal edelim ve çevrel çemberini çizelim. Çemberin merkezi O, yarı çapı r olsun. A noktasında oluşturulmuş açıya α dersek O noktasında oluşan açı aynı yayı gören merkez açı olduğundan 2α olur. |OB| ve |OC| doğru parçalarını çekerek bir ikizkenar üçgen oluşturalım. Ol |BC| (Bu kenarın uzunluğuna yazının geri kalanında “a” denecektir.) kenarına O’dan bir yükseklik indirerek iki eş üçgen oluşturalım ve sin α‘ı bulalım. Bir açının sinüsü, dik üçgende o açının gördüğü kenarın hipotenüse oranıyla bulunur. Bu nedenle ikizkenar üçgen içinde oluşturulan dik üçgenden sinα’yı sinα = a/2r  şeklinde buluruz ve içler dışlar çarpımı yaptığımızda 2r = a/sinα eşitliğine ulaşırız. Yani bir kenarın o kenarı gören açısın...
Devamı

Geometrinin Genel Tarihi

  Matematik, tarihin başlangıcından beri insan hayatında ister istemez oludkça büyük bir yere sahiptir. Matematik olarak adlandırılmadan önce bile aslında insanlar problemlerini çözmek için farkında olmadan matematik kullanırlarmış. Tabii kullanılan matematik başlangıçta oldukça basitmiş. Zaman ilerledikçe ortaya atılan yeni fikirler ve teoremlere matematiğin gelişimi sağlanmış ve şu an olduğu hale bürünmüş. Matematik çok geniş bir alandır ve bu nedenle genellikle her biri birbirine bağlı farklı başlıklarda incelenir. Temel olarak analitik ve geometri olmak üzere iki alanda incelenir. Bu yazıda ise geometrinin tarihinden bahsedilecektir. Erken Geometri Geometrinin başlangıcına dair en erken kayıtlar yaklaşık olarak MÖ 3000’de antik Babil ve antik İndus Vadisi’nde halkın geniş açılı üçgenleri keşfetmesine aittir. Erken geometri genel olarak ölçümü kolaylaştırmak amacıyla ortaya çıkarılan açılar, uzunluklar, hacimler ve alanlardan oluşur.  Eski Mısırlılar çemberin alanını yakl...
Devamı

Şapka Problemi

Resim
     Sizin de içinde bulunduğunuz n kişilik bir odada herkesin başına yazı turayla beyaz ya da siyah şapka konulduğunu düşünelim. Yani sizin kafanızda %50 ihtimalle siyah %50 ihtimalle beyaz bir şapka var. Kendiniz dışında herkesin başındaki şapkayı görebiliyorsunuz. Sonrasında sırayla herkesten kafasındaki şapkanın rengine dair bir tahminde bulunmaları isteniyor. Tahminde bulunabilir ya da pas diyerek sıranızı savabilirsiniz. Eğer hata yapılmadan en az bir kişi doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar kazanacak. Nasıl bir taktik uygulanırsa herkesin 1 milyon dolar kazanma olasılığı en yüksek olur?      The New York Times’da da yayınlanarak Amerika’da matematik severler arasında büyük bir heyecana sebep olmuş “Şapka Problemi” hala farklı stratejiler kullanılarak tartışılmaktadır. Bu konuyu bir de burada ele almak istedim.      Öncelikle şunu aklımızdan çıkarmamız gerekiyor: yanlış tahminde bulunursak kaybederiz. Mesela n kişinin (n-1) ta...
Devamı