DETAYLARLA MATH€MATIC$

Faktöriyel matematikte sıklıkla karşımıza çıkan bir konudur. Kombinasyon, permütasyon vb. konularda çeşitli problemleri çözerken faktöriyellerden yararlanırız. Faktöriyel (!) işareti ile gösterilir. Bir sayının faktöriyelinin alınması demek, o sayıdan 1’e kadar bütün sayıların çarpımıdır. n! = n(n-1)(n-2)...1 İşlemi herhangi bir n sayısı için doğrudur. n! için n kadar sayı çarpılır. Örneğin; 5! = 5.4.3.2.1 (5 tane sayı) 4! = 4.3.2.1 (4 tane sayı) 3! = 3.2.1 (3 tane sayı)  2! = 2.1 (2 tane sayı) 1! = 1 (1 tane), eşitlikleri doğrudur. Bu işlemler yukarı doğru bu şekilde devam eder.  n! için n kadar sayı çarpıldığını artık biliyoruz. Peki böyle bir durumda 0! kaça eşittir? 0 tane sayıyı çarpmamız gerek. Peki bunu nasıl yapacağız. Bu konuda çok fazla şey bilmeyen bir insan 0!‘in 0’a eşit olduğunu düşünebilir ki bu düşünce gayet normal. Ancak 0! 0’a değil 1’e eşittir. Tam olarak bir ispat değil ancak bu durum şöyle bir örnekle açıklanabilir. n! için bir n sayısı belirleyelim. Anc...

                 Bir sayının faktöriyeli, o sayı ile 1 arasındaki (o sayı dahil) sayıların çarpılmasıdır. Yani; n! = n(n-1)(n-2)…1 Faktöriyellerde n sayısı büyüdükçe faktöriyelin değeri de artar. Bu işlemin zaten çarpma işlemlerinden oluştuğunu düşünürsek faktöriyellerde bulunan belirli bir asal çarpan (örneğin 2) sayısını sayarak bulmak kolay gelebilir. n sayısı daha küçükken bu o kadar da zor değildir ancak n büyüdükçe bunu yapmak zorlaşır. Bu nedenle daha büyük sayılarda belirli bir asal çarpanın sayısını bulabilmek için bir yöntem geliştirilmiştir. Örneğin sayımız 38! olsun ve biz bu sayıda kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım Adım 1: Sayıyı bulmak istediğin asal çarpana böl. 40/3 = 13 Adım 2: Çıkan sonucu da bu asal çarpana böl ve işlemi bu şekilde olabilecek en küçük tam sayıya kadar devam ettir. 13/3 = 4 4/3 = 1 Adım 3: Her işlemde çıkan sonucu topla. Elde edilen sonuç 40!’de kaç tane 3 ç...

       Rasyonel sayılar, a ve b’nin tam sayı olması ve b’nin 0’a eşit olmaması koşuluyla a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır. Köklü sayıların irrasyonel olduğu herkes tarafından bilinen bir gerçektir. Peki “√2” sayısının irrasyonel olduğunu nasıl hesaplarız? √2 ‘nin rasyonel olduğunu varsayarsak; √2 = a/b doğru bir eşitlik olacaktır. Bu durumda a/b en sade halinde olduğunu söylersek a ve b aralarında asal olmalıdır yani bu iki tam sayının 1’den başka ortak bir böleni bulunmamalıdır. Öncelikle eşitliğin iki tarafının da karesini alalım. 2=a 2 /b 2 Bu eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparsak; 2b 2 = a 2 eşitliğine ulaşırız. Bir sayının 2 ile çarpılması sonucu çift olduğunu biliyoruz. Bu durumda a 2 nin çift olduğunu söyleyebiliriz. Bir sayının karesi çiftse kendisinin de çift olduğunu da bidiğimize göre a tam sayısının da çift olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre herhangi bir k sayısı için ; a = 2k do...

     Stewart Teoremi, Matthew Stewart tarafından ortaya atılan, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru parçası, bu keseni oluşturduğu kenar parçaları ve o üçgenin kenarları arasında kurulan bağıntıdır. Bu bağlantının en güzel yanı kullanılmak için özel bir üçgene gerekmemesidir. Teorem herhangi bir üçgende kullanılabilir. Örneğin bir ABC üçgenimiz olsun. A köşesinden [BD] ye bir doğru parçası indirelim. Bu doğru parçasının sol tarafı x , sağ tarafı (180-x) olsun.                                                 Bu şekle göre bağıntımız; k 2 = [(a 2 .n+b 2 .m) / (m+n)] – (m.n) Peki bu teoremin ispatı nedir? Kosinüs teoremini uygularsak; a 2 = m 2 +k 2 -2mk.cos(x) ve  b 2 = n 2 +k 2 -2nk.cos(180-x) eşitlikleri ortaya çıkar. Bütünleyen ...