DETAYLARLA MATH€MATIC$

Sezgisel olarak bir sayının kendisine eşit olduğunu herkes bilir. Sezgisel olarak hepimiz sadece bu eşitliği değil toplama, çarpma, üs alma, verilen sayının ardılını bulma gibi birçok karmaşık işlemi de sezgisel olarak biliriz. Fakat bize 2+2 neden 4’e eşittir diye sorulduğunda genellikle verebileceğimiz mantıklı bir cevap yoktur. Aynı durum bir sayının neden kendisine eşit olduğu sorusunda da geçerlidir. Bu yazıda 1’in neden 1’e eşit olduğu incelenecek ve 1=1 eşitliği kanıtlanacaktır. Bu eşitliği kanıtlamak için Aksiyomatik Kümeler Kuramı’ndan (bundan sonra “AKK” olarak yazılacaktır) yararlanacağız. AKK bir zorunluluk olarak ortaya çıkmıştır. AKK’dan önce kabul görülmüş olan Sezgisel Kümeler Kuramı’nda her topluluk bir küme olarak kabul edilirdi. Bu durum bir paradoksa [Russell Paradoksu (Bir önceki içerik)] yol açmış ve matematikte paradoksun kabul edilemeyecek bir durum oluşundan dolayı AKK oluşturulmuştur. AKK’de her topluluk bir küme değildir. AKK’de “küme” tanımlanmaz. Nelerin ...

  Matematiksel çelişki bir ifadenin aynı anda hem doğruluğunu hem yanlışlığını iddia ederek bir paradoks oluşmasına denir. Bu duruma basit ve sözel bir örnek olarak “Bu cümle yanlıştır.” cümlesi verilebilir. Bu cümle doğru ise cümle yanlış olmalıdır aynı şekilde bu cümle yanlış ise bu cümle doğru olmalıdır. Matematiksel çelişkinin ne olduğunu kolayca anlayabilmek için sözel bir örneği olarak bu paradoksu vermek doğru olur. Mesela siz 1 2 ≠ 1 ifadesinin doğruluğunu ispatlarsanız matematiksel bir çelişki yaratmış olursunuz çünkü 1 2 = 1 ifadesi daha önce ispatlanmıştır. Matematiksel çelişkiler matematikçiler tarafından pek sevilen durumlar değildir. Bunun nedeni matematikçilerin bir ifadenin doğruluğunun ya da yanlışlığının matematiksel bir ispatı olduğuna inanırlar. Bu nedenle çelişkileri sürekli bir şekilde ispatlamaya çalışırlar. Bu yazıda da matematik camiasını uzun bir süre boyunca kafasını karıştıran Russel Paradoksu anlatılacaktır. Bu paradoksa geçmeden önce sözel olarak ...